Фракталы

Фрактал— это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба. Другими словами, если взять часть фрактала по нему можно восстановить весь фрактал. Совмещает в себе красоту с простотой. Так, некоторые фракталы приближенно можно сделать с помощью ручки и бумаги.
Понятие появилось в 1975, а закрепилось в 1977 году с выходом книги "Фрактальная геометрия природы" Бенуа Мандельброта. В частности, в ней рассматривалась проблема измерения длины границы побережья. Казалось бы, что в этом сложного, но нет. Ученый выяснил что при разных масштабах карты, длина побережья меняется, и правда, при более крупном масштабе граница становится более подробной, появляются новые более мелкие подробности. Это одна из краеугольных проблем фрактальное геометрии.
Сначала рассмотрим простейшие геометрические фракталы.



Кривая Коха (снежинка Коха)
Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.

предельный вариант

Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха.

Кривая Леви
Получается, если взять половину квадрата вида /, а затем каждую сторону заменить таким же фрагментом, и, повторяя эту операцию, в пределе получим кривую Леви.

Кривая Гильберта
Является частным случаем более общего семейства кривых Пеано, содержащих образ квадрата.

Кривая дракона
Берём отрезок, сгибаем его пополам. Затем многократно повторяем итерацию. Если после этого снова разогнуть получившуюся (сложенную) линию так, чтобы все углы были равны 90°, мы получим драконову ломаную.

шаги получения дракона с 1 по 23

исторический бумажный метод, шаги с 1 по 6

Треугольник Серпинского

предельный вариант

Первые несколько шагов получения

Дерево Пифагора
Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. В наш век эта фигура Пифагора выросла в целое дерево.
Классическое дерево

Овеваемое ветром

Круговой фрактал
Фрактал, построенный многократным вписыванием в окружность других окружностей меньшего радиуса.

И еще, но только названия:

• Фрактал Мандельброта
  
• Фракталы звезда и снежинка
  
• Колбаса Минковского
  
• Фрактал лабиринт
  
• Фрактал коробка
  
• Пятиуuольник Дарена
  

Это все, конечно, лепо, но к чему все это, – скажете Вы. А фракталы встречаются в самых неожиданных местах.
В природе











Кстати наш герб, тоже фрактал. Присмотритесь, орел держит в лапе скипетр, на скипетре тоже двуглавый орел, который держит в лапе скипетр с двуглавым орлом...

На практике используется

в радиоантеннах

при сжатии изображении

на биржах, так как колебания курса валют фрактальны

в гейм-индустрии для создания гор, деревьев


ещё